NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद) (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 2.1

Ex 2.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x²– 3x + 7
(ii) y²+√2
(iii)3√t + t√2
(iv) y +
(v) x¹⁰+ y³+ t⁵⁰
हल:
(i) 4x²– 3x + 7
यह एक चर मेंबहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y²+√2
यह एक चर मेंबहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y +
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x¹⁰+ y³+ t⁵⁰
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Ex 2.1 Class 9 गणितQ2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x²का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x²+ x
(ii) 2 – x²+ x³
iii) x²+ x
(iv)√2x −1
हल:
(i) 2 + x²+ x
x²का गुणांक =1

(ii) 2 – x²+ x³
x²का गुणांक =–1

(iii) x²+ x
x²का गुणांक =

(iv)√2x −1
x²का गुणांक =0 [क्योंकि यहाँ x²नहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Ex 2.1 Class 9 गणितQ3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x³⁵+ 5y
Note:द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे –x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒3y¹⁰⁰
Note:एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे-3x, 5t, y, 3xy आदि.

Ex 2.1 Class 9 गणितQ4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x³+ 4x²+ 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t –√7
(iv) 3
हल:
(i) 5x³+ 4x²+ 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट:बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y²
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t –√7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Ex 2.1 Class 9 गणितQ5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x²+ x
(ii) x – x³
(iii) y + y²+ 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r²
(vii) 7x²
हल:
(i) x²+ x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x³
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y²+ 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r²
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x²
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 9 गणित प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x²+ 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2
हल:
(i) p(x) = 5x – 4x²+ 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)²+ 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x²+ 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)²+ 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9+ 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6है |

(iii) p(x) = 5x – 4x²+ 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)²+ 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3है |

Ex 2.2 Class 9 गणितQ2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए|
(i) p(y) = y²– y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t²– t³
(iii) p(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y²– y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)²– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)²– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)²– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t²– t³
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)²– (0)³ = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)²– (1)³ = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)²– (2)³
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x³
P(0) के लिए
P(0) = (0)³= 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)³= 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)³= 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Ex 2.2 Class 9 गणितQ3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :

हल:
(i) P(x) = 3x + 1

p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x–π

=5–π
∵P(x)≠0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x²– 1

Ex 2.2 Class 9 गणितQ4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x+5
(ii) P(x) = x–5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x–2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a≠0
हल (i) :
(i) P(x) = x + 5
⇒x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

हल(ii) :
(ii) P(x) =x–5
⇒x–5 = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक5 है|

बहुपद का शुन्यक है |

(iv) P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠

बहुपद का शुन्यक है |

प्रश्नावली 2.3

Ex 2.3 Class 9 गणित Q1. x³+ 3x²+ 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x + 1
(ii) x –
(iii) x
(iv) x +θ
(v) 5 + 2x
हल :(i)x³+ 3x²+ 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर

अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

हल :(iii)x³+ 3x²+ 3x + 1 को x से भाग देने पर

अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल :(iv) x³+ 3x²+ 3x + 1 कोx +πसे भाग देने पर

अत: भाग देने पर शेषफल–π³+ 3π²– 3π+ 1 है|
हल :(v)x³+ 3x²+ 3x + 1 को5+2xसे भाग देने पर

Ex 2.3 Class 9 गणितQ2.x³–ax²+ 6x–aको x–a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल :p(x) = x³– ax²+ 6x – a और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत: x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)³– a(a)²+ 6(a) – a
= a³– a³+ 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 9 गणित Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x³+ x²+ x + 1
(ii) x⁴+ x³+ x²+ x + 1
(iii) x⁴+ 3x³+ 3x²+ x + 1
(iv) x³– x³– (2 +√2)x +√2
हल :(i) p(x) = x³+ x²+ x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x³+ x²+ x + 1
p(-1) = (-1)³+ (-1)²+ (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल :(ii) p(x) = x⁴+ x³+ x²+ x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴+ x³+ x²+ x + 1
p(-1) = (-1)⁴+ (-1)³+ (-1)²+ (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल :(iii) p(x) = x⁴+ 3x³+ 3x²+ x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴+ 3x³+ 3x²+ x + 1
p(-1) = (-1)⁴+ 3(-1)³+ 3(-1)²+ (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

Ex 2.4 Class 9 गणितQ2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x³+ x²– 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³+ 3x²+ 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x³– 4x²+ x + 6, g(x) = x – 3
हल :(i) p(x) = 2x³+ x²– 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x³+ x²– 2x – 1 दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)³+ (-1)²– 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल :(ii) p(x) = x³+ 3x²+ 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³+ 3x²+ 3x + 1 दिया है |
अब, p(-2) = (-2)³+ 3(-2)²+ 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल :(iii) p(x) = x³– 4x²+ x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³– 4x²+ x + 6 दिया है |
अब, p(3) = (3)³– 4(3)²+ 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Ex 2.4 Class 9 गणितQ3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x²+ x + k
(ii) p(x) = 2x²+ kx +√2
(iii) p(x) = kx²–√2x + 1
(iv) p(x) = kx²– 3x + k
हल :(i) p(x) = x²+ x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x²+ x + k = 0
p(1) = (1)²+ (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल :(ii) p(x) = 2x²+ kx +√2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x²+ kx +√2= 0
p(1) = 2(1)²+ k(1) +√2 = 0
2 + k +√2= 0
k = – 2 –√2
k = – (2 +√2)

हल :(iii) p(x) = kx²–√2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx²–√2x + 1 = 0
p(1) = k(1)²–√2(1) + 1 = 0
k –√2+ 1 = 0
k =√2– 1

हल :(iv) p(x) = kx²– 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx²– 3x + k = 0
p(1) = k(1)²– 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Ex 2.4 Class 9 गणितQ4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x²– 7x + 1
(ii) 2x²+ 7x + 3
(iii) 6x²+ 5x – 6
(iv) 3x²– x – 4
हल :(i) 12x²– 7x + 1
⇒ 12x²– 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल :(ii) 2x²+ 7x + 3
⇒ 2x²+ 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल :(iii) 6x²+ 5x – 6
⇒ 6x²+ 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल :(iv) 3x²– x – 4
⇒ 3x²– 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Ex 2.4 Class 9 गणितQ5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³– 2x²– x + 2
(ii) x³– 3x²– 9x – 5
(iii) x³+ 13x²+ 32x + 20
(iv) 2y³+ y²– 2y – 1
हल :(i) x³– 2x²– x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x³– 2x²– x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)³– 2(1)²– (1) + 2
= 1 – 2 – 1 + 2 = 0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि :x – 1 से x³– 2x²– x + 2 में भाग देने पर

अत: x³– 2x²– x + 2 = (x – 1) (x²– x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x²– 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट:चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि :हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x³– 2x²– x + 2 = x²(x -1) – x²– x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x²– x – 2)
= (x – 1) (x²– 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि :हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x³– 2x²– x + 2
= (-1)³– 2(-1)²-(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x³– 2x²– x + 2
= (2)³– 2(2)²-(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x³– 2x²– x + 2
= (-2)³– 2(-2)²-(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत: x³– 2x²– x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल :(ii) x³– 3x²– 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x³– 3x²– 9x – 5
= (-1)³– 3(-1)²– 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x³– 3x²– 9x – 5 = x²(x + 1) – 4x²– 9x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x²– 4x – 5)
= (x + 1) (x²– 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल :(iii) x³+ 13x²+ 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x³+ 13x²+ 32x + 20
= (-1)³+ 13(-1)²+ 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x³+ 13x²+ 32x + 20 = x²(x + 1) + 12x²+ 32x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1)+ 20x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1)+ 20(x + 1)
= (x + 1) (x²+ 12x + 20)
= (x + 1) (x²+ 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल :(iv) 2y³+ y²– 2y – 1
= y²(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y²– 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ:

(x + y)²= x²+ 2xy + y²
(x –y)²= x²–2xy + y²
x²– y²= (x + y) (x – y)
(x + a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab
(x + y)³= x³+ 3x²y + 3xy²+ y³
(x –y)³= x³–3x²y + 3xy²–y³
x³+ y³= (x + y) (x²–xy + y²)
x³–y³= (x –y) (x²+xy + y²)
(x + y + z)²= x²+ y²+ z²+ 2xy + 2yz + 2zx
x³+ y³+ z³– 3xyz = ( x + y + z) (x²+ y²+ z²–xy –yz –zx)

प्रश्नावली 2.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल:
(i)(x + 4) (x + 10)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10)=x²+ (4+ 10)x + (4)(10)
=x²+ 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10)=x²+ [8+ (-10)]x + (8)(-10)
=x²– 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)²+ [4+ (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x²–3x – 20

सर्वसमिका(x + y) (x – y)=x²– y²का प्रयोग करने पर

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका(x + y) (x – y)=x²– y²का प्रयोग करने पर
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)²– (2x)²
= 9 – 4x²

Ex 2.5 Class 9 गणितQ2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107= (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7)= (100)² + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95× 96= (90+ 5) (90+ 6)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90+ 5) (90+ 6)= (90)² + (5+ 6)90 + 5×6
= 8100+ 990+ 30 = 9120

(iii) 104× 96= (100+ 4) (100– 4)
सर्वसमिका(x + y) (x – y)=x²– y²का प्रयोग करने पर
(100)²– (4)²
= 10000 – 16 = 9984

Ex 2.5 Class 9 गणित3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x²+ 6xy + y²
(ii) 4y²– 4y + 1

हल:
(i) 9x²+ 6xy + y²
= (3x)²+ 2.3x.y + (y)²[∵ x²+ 2xy + y²= (x + y)²]
∴ = (3x + y)²
= (3x + y)(3x + y)

(ii) 4y²– 4y + 1
= (2y)²–2.2y.1+ (1)²[∵ x²–2xy + y²= (x –y)²]
∴ = (2y–1)²
= (2y – 1)(2y – 1)

[∵x²– y²= (x + y) (x – y)]

Ex 2.5 Class 9 गणितQ4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(iii) (–2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) (–2x + 5y – 3z)²
हल:
(i) (x + 2y + 4z)²
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथाc का मान सर्वसमिका
(a+ b+ c)²= a²+ b²+ c²+ 2ab+ 2bc+ 2ca में रखने पर
∴(x + 2y + 4z)²= (x)²+ (2y)²+ (4z)²+ 2(x)(2y)+ 2(2y)(4z)+ 2(4z)(x)
= x²+ 4y²+ 16z²+ 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)²
यहाँ माना किa = 2x, b = –y, c = zऔर a, b तथाc का मान सर्वसमिका
(a+ b+ c)²= a²+ b²+ c²+ 2ab+ 2bc+ 2ca में रखने पर
∴(2x – y + z)²= (2x)²+ (-y)²+ (z)²+ 2(2x)(-y)+ 2(-y)(z)+ 2(z)(2x)
= 4x²+ y²+ z²–4xy –2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)²
यहाँ माना किa = – 2x, b = 3y, c = 2zऔर a, b तथाc का मान सर्वसमिका
(a+ b+ c)²= a²+ b²+ c²+ 2ab+ 2bc+ 2ca में रखने पर
∴(-2x + 3y + 2z)²
= (-2x)²+ (3y)²+ (2z)²+ 2(-2x)(3y)+ 2(3y)(2z)+ 2(2z)(-2x)
= 4x²+ 9y²+ 4z²–12xy + 12yz– 8zx

(iv) (3a – 7b – c)²
यहाँ माना किx= 3a, y=-7b, z=-c और x, yतथा zका मान सर्वसमिका
(x + y + z)²= x²+ y²+ z²+ 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴(3a – 7b – c)²
= (3a)²+ (-7b)²+ (-c)²+ 2(3a)(-7b)+ 2(-7b)(-c)+ 2(-c)(3a)
= 9a²+ 49b²+ c²–42ab + 14bc– 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)²
यहाँ माना किa = – 2x, b = 5y, c =-3zऔर a, b तथाc का मान सर्वसमिका
(a+ b+ c)²= a²+ b²+ c²+ 2ab+ 2bc+ 2ca में रखने पर
∴(-2x + 5y – 3z)²
= (-2x)²+ (5y)²+ (-3z)²+ 2(-2x)(5y)+ 2(5y)(-3z)+ 2(-3z)(-2x)
= 4x²+ 25y²+ 9z²– 20xy –30yz +12zx

Ex 2.5 Class 9 गणितQ5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x²+ 9y²+ 16z²+ 12xy – 24yz – 16xz
हल:
(i) 4x²+ 9y²+ 16z²+ 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)²+ (3y)²+ (4z)²+ 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵a²+ b²+ c²+ 2ab+ 2bc+ 2ca =(a+ b+ c)²]
= (2x + 3y + 4z)²
=(2x + 3y + 4z)(2x + 3y + 4z)

Ex 2.5 Class 9 गणितQ6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए:
(i) (2x + 1)³
(ii) (2a – 3b)³

हल:
(i) (2x + 1)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a+ b)³= a³+ 3a²b+ 3ab²+ b³]
(2x + 1)³= (2x)³+ 3 (2x)²(1) + 3 (2x) (1)²+ (1)³
= 8x³+ 12x²+ 6x + 1

(ii) (2a – 3b)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से(x –y)³= x³–3x²y + 3xy²–y³]
(2a– 3b)³= (2a)³–3 (2a)²(3b) + 3(2a) (3b)²–(3b)³
= 8a³– 36a²b+ 54ab²–27b³

[सर्वसमिका के प्रयोग से(a+ b)³= a³+ 3a²b+ 3ab²+ b³]

[सर्वसमिका के प्रयोग से(a –b)³= a³–3a²b+ 3ab²–b³]

Ex 2.5 Class 9 गणितQ7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³
हल :
(i) (99)³
=(100 – 1)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से(a –b)³= a³–3a²b+ 3ab²–b³]
(100 – 1)³=(100)³–3(100)²(1) + 3(100)(1)²–(1)³
= 1000000– 30000+ 300– 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)³
=(100 +2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से(a+ b)³= a³+ 3a²b+ 3ab²+ b³]
(100 + 2)³=(100)³+3 (100)²(2)+ 3 (100) (2)²+(2)³
= 1000000 +60000+ 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)³
=(1000 –2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से(a –b)³= a³–3a²b+ 3ab²–b³]
(1000 –2)³=(1000)³–3 (1000)²(2)+ 3(1000) (2)²–(2)³
= 1000000000 –6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Ex 2.5 Class 9 गणितQ8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 8a³+ b3+ 12a²b + 6ab²
(ii) 8a²– b²– 12a²b + 6ab²
(iii) 27 – 125a³– 135a + 225a²
(iv) 64a³– 27b³– 144a²b + 108ab²

हल:
(i) 8a³+ b3+ 12a²b + 6ab²
= (2a)³+(b)³+ 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³+y³+3x²y + 3xy²=(x +y)³]
=(2a)³+(b)³+ 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²= (2a + b)³
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a²– b²– 12a²b + 6ab²
= (2a)³–(b)³–3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³– y³–3x²y + 3xy²=(x –y)³]
=(2a)³–(b)³–3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²= (2a –b)³
= (2a –b)(2a –b)(2a –b)

(iii) 27 – 125a³– 135a + 225a²
= (3)³–(5a)³–3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³– y³–3x²y + 3xy²=(x –y)³]
= (3)³–(5a)³–3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²= (3– 5a)³
=(3– 5a)(3– 5a)(3– 5a)

(iv) 64a³– 27b³– 144a²b + 108ab²
= (4a)³–(3b)³–3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³– y³–3x²y + 3xy²=(x –y)³]
=(4a)³–(3b)³–3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)²= (4a – 3b)³
=(4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³– y³–3x²y + 3xy²=(x –y)³]

Ex 2.5 Class 9 गणितQ9. सत्यापित कीजिए :
(i) x³+ y³= (x + y) (x²– xy + y²)
हल :
RHS =(x + y) (x²– xy + y²)
= x(x²– xy + y²) + y (x²– xy + y²)
= x³– x²y + xy²+ x²y – xy²+ y³

= x³+ y³
∵LHS = RHS सत्यापित

(ii) x³– y³= (x – y) (x²+ xy + y²)
हल :
RHS = (x – y) (x²+ xy + y²)
x(x²+ xy + y²) – y (x²+ xy + y²)
= x³+x²y+ xy²– x²y–xy²– y³

= x³– y³
∵LHS = RHS सत्यापित |

Ex 2.5 Class 9 गणितQ10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y³+ 125z³
(ii) 64m³– 343n³
हल :
(i) 27y³+ 125z³
= (3y)³+ (5z)³
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³+ y³= (x + y) (x²– xy + y²) ]
(3y)³+ (5z)³= (3y + 5y) [(3y)²– (3y)(5z) + (5z)²]
=(3y + 5y)(9y²– 15yz + 25z²)

(ii) 64m³– 343n³
हल :
(ii) 64m³– 343n³
= (4m)³–(7n)³
[सर्वसमिका के प्रयोग सेx³–y³= (x–y) (x²+ xy + y²) ]
(4m)³–(7n)³= (4m–7n) [(4m)²+ (4m)(7n) + (7n)²]
=(4m–7n)(16m²+28mn+ 49n²)

Ex 2.5 Class 9 गणितQ11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x³+ y³+ z³– 9xyz
हल :
= (3x)³+ (y)³+ (z)³– 9xyz
∵x³+ y³+ z³– 3xyz =(x + y + z) (x²+ y²+ z²– xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से:
= (3x + y + z) ((3x)²+ (y)²+ (z)²– (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
=(3x + y + z) (9x²+ y²+ z²– 3xy – yz – 3zx)

Ex 2.5 Class 9 गणितQ12. सत्यापित कीजिए:
x³+ y³+ z³– 3xyz= (x + y + z) [(x – y)²+ (y – z)²+ (z – x)²]
हल :
LHS = (x + y + z) [x²– 2xy + y²+ y²– 2yz +z²+ z²– 2xz +x²]
= (x + y + z) (2x²+ 2y²+ 2z²– 2xy – 2yz – 2xz)
= ×2(x + y + z) (x²+ y²+ z²– xy – yz – xz)
=(x + y + z)(x²+y²+z²–xy –yz –xz)
=x³+ y³+ z³– 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से]
LHS = RHS

Ex 2.5 Class 9 गणितQ13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³+ y³+ z³= 3xyz है | 
हल :x + y + z = 0 दिया है |
x³+ y³+ z³–3xyz =( x + y + z) (x²+ y²+ z²–xy –yz –zx)
= (0)(x²+ y²+ z²–xy –yz –zx) = 0
अत: x³+ y³+ z³–3xyz = 0
या x³+ y³+ z³=3xyzसत्यापित

Ex 2.5 Class 9 गणितQ14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i)(-12)³+ (7)³+ (5)³
(ii) (28)³+ (-15)³+ (-13)³
हल :(i)(-12)³+ (7)³+ (5)³

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x³+ y³+ z³=3xyzहै |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x³+ y³+ z³=3xyz [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)³+ (7)³+ (5)³= 3× (-12)× 7× 5
= – 1260

हल :(ii) (28)³+ (–15)³+ (–13)³
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x³+ y³+ z³=3xyz
अब,(28)³+ (–15)³+ (–13)³ = 3× 28× (-15)× (-13)
=133380

Ex 2.5 Class 9 गणितQ15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये |
(i) क्षेत्रफल : 25a²– 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y²+ 13y – 12
हल :(i) क्षेत्रफल : 25a²– 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई× चौड़ाई
अत:25a²– 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a²– 35a + 12= 25a²+ 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल :(ii) क्षेत्रफल : 35y²+ 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y²+ 13y – 12= 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y+ 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Ex 2.5 Class 9 गणितQ16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x³– 12x
(ii) आयतन : 12ky²+ 8ky – 20k
हल :(i) आयतन : 3x³– 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन =3x³– 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L× B× H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल :(ii) आयतन : 12ky²+ 8ky – 20k
आयतन =12ky²+ 8ky – 20k
= 4k (3y²+ 2y – 5)
= 4k (3y²+ 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y+ 5)– 1(3y + 5)]
= 4k (3y+ 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L× B× H
अत: L =4k, B =(3y+ 5)और H =(y – 1)

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References